В День смеха в культурном центре ЗИЛ прошла лекция «5 способов насмешить ученого», организованная Политехническим музеем. Главным спикером стал доцент кафедры высшей математики Высшей школы экономики и администратор «Википедии» Илья Щуров. Он рассказал, какие шутки есть в математическом мире и какие серьезные факты за ними скрываются. Slon публикует сокращенный вариант лекции.

Как найти площадь Ленина?

Длину Ленина умножить на ширину Ленина. Это шутка понятна человеку, который окончил среднюю школу, но она не для математика. Математик скажет, что найти площадь Ленина можно, взяв интеграл по поверхности. Ленин ведь не прямоугольник!

Идеальный сферический конь в вакууме

Многим кажется, будто математика – нечто жуткое и сложное, а вот сами математики очень любят все упрощать. По этому поводу есть анекдот. Один миллиардер нанял биолога и математика, чтобы они предсказали победу в скачках. Биолог сказал: еслизнать, чем лошадь кормили, какая у нее родословная, какие результаты в скачках были у ее родителей, он определит ее максимальную скорость. Статистик заявил, что может проанализировать данные по сотне разных забегов, построить статистическую модель и с приблизительной вероятностью предсказать результаты. Но статистики – это прикладные математики. Настоящий математик сказал бы, что он построил модель идеального сферического коня в вакууме, а на продолжение исследования ему нужен грант в размере десяти тысяч долларов. Выражение про абсолютно упругого сферического коня в вакууме вышло за пределы чисто научного фольклора и стало достаточно распространенным. Означает оно, что построенная модель очень упрощенная и плохо описывает реальность. Работа математиков состоит в том, чтобы сильно схематизировать реальность, выявляя сущностные вещи. Основная идея вот в чем: если вам нужна какая-то модель, не надо строить что-то сложное, такую модель вы замучаетесь анализировать. Все должно быть изложено так просто, как только возможно, но не проще, по выражению Альберта Эйнштейна.

Человек, имеющий форму шара

Был такой замечательный российский математик, Пафнутий Львович Чебышев, исследовавший теорию вероятности и теорию приближения функций. Как-то раз, будучи уже известным профессором, он решил прочитать серьезную лекцию о портняжном деле. На нее явились представители самых разных слоев общества. Пафнутий Львович взошел на кафедру и начал лекцию словами: «Предположим для простоты, что человек имеет форму шара». Долгое время я считал, что это только анекдот, тем не менее недавно замечательный математик Этьен Жис и популяризатор математики Николай Андреев раскопали предысторию байки. Оказалось, что так и было, Чебышев действительно изучал, как нужно кроить различные материалы так, чтобы из них можно потом шить одежду, плотно облегающую любой объект. Выкроить материал для шара – задача не из простых. Если взять вместо ткани, состоящей из волокон, лист бумаги, вы сможете сложить из него цилиндр, конус. Однако склеить из листка бумаги сферу у вас не получится. Причина в свойстве бумаги сохранять первую квадратичную форму, то есть расстояние между точками. Также известно, что у сферы первая квадратичная форма отличается от первой квадратичной формы у плоскости.

Земля в форме бублика

Упрощения бывают самыми разными. Для начала введу такое определение, как тор. Тор – это, к примеру, поверхность бублика или спасательного круга. Математики, как ни странно, любят тор. Как-то раз я услышал историю. Владимир Игоревич Арнольд, один из величайших математиков, занимался темой предсказания погоды. Прогноз дается на ближайшие 3 недели, вы нигде не увидите прогноза погоды на 3 месяца. В математике есть область – теория динамических систем, которая показывает, что некоторым простейшим моделям, например погоде, свойственна хаотичность. Арнольд в одной из книг привел в качестве примера задачу по моделированию погоды и добавил: «Если согласиться на некоторые упрощающие предположения, то Земля имеет форму тора». Для Арнольда исследовать погоду на Земле, имеющей форму бублика, было гораздо проще, чем исследовать ее на Земле, очень похожей на шар. Конечно, грамотный человек скажет, что Земля не шар, а чуть сплюснутый шар, а совсем уж грамотный уточнит, что она имеет форму геоида, где геоид – это геометрическое тело, имеющее форму Земли.

Как причесать ежа?

Есть такая штука – теорема о причесывании ежа. Теорема гласит, что ежа невозможно причесать таким образом, чтобы иголки не топорщились. Представим себе идеального, конечно же, сферического математического ежа, покрытого иголками со всех сторон. Если не можете вообразить ежа, представьте себе подстриженный лохматый шарик для пинг-понга. Из этой теоремы существует следствие: если где-то на Земле дует ветер, обязательно имеется точка, где ветер не дует никогда, потому что она является центром циклона. Если Земля имеет сферическую форму, циклоны обязательно на ней присутствуют. Представьте, что смотрите на планету из космоса и из каждой точки нарисовали стрелочку, показывающую, в какую сторону из этой конкретной точки дует ветер. Если ветер никуда не дует, это будет просто точка, если ветер дует куда-то, то из точки направлена стрелка. Можно представить, что Земля со всеми этими стрелками – причесанный еж. Точнее, еж оказался бы причесанным, не будь точек, из которых стрелки никуда не стремятся. Имей Земля форму тора, проблемы бы не существовало: представите себе ежа в форме тора. Его можно причесать вдоль параллели.

Математические цели исследования

Есть анекдот. В гостинице остановились инженер, математик и физик. У каждого в номере загорелось по холодильнику. Инженер выбежал в коридор, увидел пожарный шланг, залил холодильник и успокоился. Физик быстро в уме решил несколько уравнений, прикинул, что пожар только начинается и нет никакой необходимости использовать тяжелую артиллерию, так что можно взять стакан воды, залить ее в место возгорания и быстро все затушить. Математик же выскочил в коридор, увидел огнетушитель, произнес: «Решение существует!» И лег спать дальше. Эта история правдива, потому что математики очень часто не пытаются придумать конкретные решения, им достаточно того, что решение в принципе есть.

Теорема неподвижной точки

Есть такая задача по решению уравнения, моделирующего динамику жидкостей, например, она возникает при моделировании атмосферы и предсказании погоды. Решить ее математически пока что никто не смог, но даже если вы докажете, что решение просто существует, сразу пишите в математический Институт Клэя, там вам с радостью дадут миллион долларов. Для таких задач существуют суперкомпьютеры, они приблизительно решают это уравнение. Есть математики, настроенные против подобного обращения с математическими теоремами. Началось это с Лёйтзена Эгберта Яна Брауэра, доказавшего теорему о неподвижной точке.

Представьте, что у вас есть шарик из пластилина. Сначала он лежал на столе, потом вы взяли его в руку, смяли и что-то из него слепили. А после вернули шарик на прежнее место на столе. Теорема Брауэра сообщает нам, что в этом шарике есть хотя бы одна точка, которая никуда не сдвинулась. Теорему-то Брауэр доказал, но каким образом эту точку нужно искать, понять из его доказательства нельзя.

Есть такая штука – закон исключенного третьего. Утверждение может быть либо истинным, либо ложным, и если вы сможете обосновать, что оно не является ложным, то почти докажете его истинность. Казалось бы, достаточно простая гипотеза, однако она приводит к таким странным вещам, как теорема Брауэра. В школе был метод доказательства от противного: вы предполагаете, что какое-то положение верно, а затем приходите к противоречию. Брауэр пытался создать такую математику, где не использовались бы доказательства от противного и закон исключенного третьего. У теоремы Брауэра есть всяческие продолжения, например, из нее следует вышеупомянутая теорема о причесывании ежа. Также из нее можно вывести теорему Нэша, за которую Джон Нэш получил Нобелевскую премию по экономике. Он придумал понятие равновесия Нэша, которое опирается на одну из теорем неподвижной точки и является ключевым в теории игр. А теория игр – основа всей современной экономики.

Семимерная сфера

Подходит как-то студент к профессору, читающему лекцию по линейной алгебре, и говорит: «Простите, я не могу представить, что такое семимерная сфера». На это профессор отвечает: «Это же элементарно, представьте себе N-мерную сферу, а потом положите N=7». На самом деле это тоже только наполовину шутка. Что такое N-мерное пространство? Отрезок – это одномерное пространство, в нем каждая точка задается одним числом, а каждому числу соответствует определенная точка. Система координатной плоскости – это двумерное пространство, потому что у каждой точки есть координата по Х и координата по Y. Трехмерное пространство задано тремя координатами. Чтобы перейти к четырехмерному пространству, математику не нужно представлять какие-то реальные предметы, достаточно всего лишь сказать, что теперь точка будет задаваться четырьмя числа. N-мерное пространство – это пространство, где точка имеет N координат, но представить его себе геометрически очень тяжело. Я, например, десять лет пытаюсь, так и не смог.